TURUNAN FUNGSI

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Apa kabar semuanya, semoga selalu dalam lindungan Allah SWT. Mari kita belajar kalkulus bareng bareng.. Mari simak materinya, semangat dan semoga bermanfaat.

Definisi Turunan Fungsi di Suatu Titik

Misalkan fungsi f terdefinisi pada suatu selang terbuka (a,b) dan misalkan c ∊ (a,b). Turunan f di titik c, dilambangkan dengan f ‘(c), didefinisikan sebagai:

[pmath]f prime (c) ~=~ lim{Delta x right 0}{{f(c + Delta x) ~-~ f(c)}/{Delta x}}[/pmath]

apabila limit tersebut ada. Jika limit tersebut ada, kita katakan bahwa f mempunyai turunan di c atau f terdiferensialkan di c.

Definisi yang ekivalen dengan definisi di atas:

Misalkan fungsi f terdefinisi pada suatu selang terbuka (a,b) dan misalkan c ∊ (a,b). Turunan f di titik c, dilambangkan dengan f ‘(c), didefinisikan sebagai:

[pmath]f prime (c) ~=~ lim{Delta x right c}{{f(x) ~-~ f(c)}/{x ~-~ c}}[/pmath]

apabila limit tersebut ada. Jika limit tersebut ada, kita katakan bahwa f mempunyai turunan di c atau f terdiferensialkan di c.

Pada contoh kasus mengenai pertumbuhan penduduk ini, berapakah laju pertumbuhan penduduk di tahun ke-2? Untuk menjawab ini, kita gunakan rumus pada definisi di atas.

f(x) = x² + 1

f(2) = 2² + 1 = 5

f(2 + Δx) = (2 + Δx)² + 1 = (Δx)² + 4 Δx + 5

f(2 + Δx) – f(2) = [(Δx)² + 4 Δx + 5] – 5 = (Δx)² + 4 Δx

[pmath]f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 0}{(Delta x)^2 ~+~ 4 Delta x}/{Delta x}}[/pmath]

[pmath]f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 0}{(Delta x ~+~ 4)} ~=~ 4[/pmath]

Jadi, di tahun ke-2, laju perubahan jumlah penduduk di daerah itu adalah 4 juta penduduk per tahun.

Rumus pada definisi yang kedua pun memberikan hasil yang sama.

f(x) = x² + 1

f(2) = 2² + 1 = 5

f(x) – f(2) = (x² + 1) – 5 = x² – 4

[pmath]f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 2}{{x^2 ~-~ 4}/{x ~-~ 2}}[/pmath]

[pmath]f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 2}{{(x ~+~ 2)(x ~-~ 2)}/{x ~-~ 2}}[/pmath]

[pmath]f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 2}{{(x ~+~ 2)(x ~-~ 2)}/{x ~-~ 2}}[/pmath]

[pmath]f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 2}{(x ~+~ 2)} ~=~ 4[/pmath]

Bagaimana rumus umum bagi f ‘(x) pada kasus ini?

Kita gunakan rumus pada definisi pertama.

f(x) = x² + 1

f(x + Δx) = (x + Δx)² + 1 = (Δx)² + 2x.Δx + x² + 1

f(x + Δx) – f(x) = [(Δx)² + 2x.Δx + x² + 1] – (x² + 1) = (Δx)² + 2x.Δx

[pmath]f prime (x) ~=~ lim{Delta x right 0}{(Delta x)^2 ~+~ 2x Delta x}/{Delta x}}[/pmath]

[pmath]f prime (x) ~=~ lim{Delta x right 0}{(Delta x ~+~ 2x)} ~=~ 2x[/pmath]

Jadi, f ‘(x) = 2x.

Dengan rumus umum f ‘(x) = 2x, kita dapat menghitung laju pertumbuhan penduduk di tahun ke-x untuk setiap x > 0. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa seiring dengan bertambahnya tahun (seiring dengan bertambahnya x), laju pertumbuhan penduduk semakin tinggi; banyaknya penduduk di daerah itu bertumbuh semakin pesat.

Bagaimana dengan f ‘(0)? Karena f pada kasus ini didefinisikan untuk x ≥ 0, tidak ada suatu selang terbuka yang memuat 0 sehingga definisi-definisi di atas gagal untuk menjawab pertanyaan ini. Tetapi ini tidak berarti bahwa f ‘(0) tidak dapat ditentukan. Ini dijawab dengan konsep turunan sepihak. Seperti halnya konsep limit kiri dan limit kanan fungsi, dalam topik mengenai turunan pun ada konsep turunan kiri dan turunan kanan.

Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Sumber :http://edscyclopedia.com/?s=Turunan+fungsi