KALKULUS 2 : INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Desember 21, 2019

KALKULUS 2 : INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh...

Hallo Semuanya..
Selamat Datang di Blog saya, bagi kalian yang baru mampir, perkenalkan nama saya Ayu Rizkyca Awalia, mahasiswa semester 3 Sekolah Tinggi Teknik PLN Jakarta..

Seperti judulnya, kali ini say akan membagikan sedikit materi kalkulus 2 tentang Integral Fungsi Rasional.

Apa sih Fungsi Rasional itu?
Fungsi Rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan dimana pembilang dan penyebutnya masing masing merupakan fungsi polinomial.
Fungsi rasional yang dimaksud adalah fungsi-fungsi berbentuk $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ , dengan $p(x)$ dan $q(x)$ masing-masing suatu polinom derajat $m$ dan $n$ , $(m < n)$ .

$p(x) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + ... + p_m x^m , p_m \neq 0$ disebut polynomial derajat $m$ .

Teknik Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan faktor dari polinomial $q(x)$ . Bentuk inilah yang lalu diintegralkan.

Contoh :

$\displaystyle \int \dfrac{2x+1}{x^2-3x+2} dx = \int \dfrac{2x+1}{(x-1)(x-2)} dx$

= $\displaystyle \int \dfrac{A}{x-1} dx + \int \dfrac{B}{x-2} dx$

$A$ dan $B$ dapat dicari melaui hubungan :

$\dfrac{2x+1}{x^2-3x+2} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2}$

= $\dfrac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

$\Leftrightarrow 2x + 1 = A(x-2) + B(x-1)$

$\Leftrightarrow 2x + 1 = (A + B)x - 2A - B$

$\Leftrightarrow (A + B) = 2$ dan $-2A - B = 1$

$\Leftrightarrow A = -3$ dan $B = 5$

= $\displaystyle \int \dfrac{-3}{x-1} dx + \int \dfrac{5}{x-2} dx$

misal : $u = x - 1 \Rightarrow du = dx$

$v = x - 2 \Rightarrow dv = dx$

= $\displaystyle \int \dfrac{-3}{u} du + \int \dfrac{5}{v} dv$

= $-3 \ln(u) + 5 \ln(v) + C$

= $-3 \ln(x-1) + 5 \ln(x-2) + C$

= $\ln \dfrac{(x-2)^5}{(x-1)^3} + C$

Aturan yang dapat dipedomani untuk penguraian bentuk $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sebagai berikut :

Untuk setiap faktor dari $q(x)$ berbentuk $(ax+b)^k$ , maka penguraian faktor tersebut berbentuk :

$\dfrac{A_1}{ax+b} + \dfrac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(ax+b)^k}$
Untuk setiap faktor dari $q(x)$ berbentuk $(ax^2 + bx + c)^k$ , maka penguraian faktor tersbut berbentuk :

$\dfrac{A_1 x+B_1}{ax^2+bx+c} + \dfrac{A_2 x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \cdots + \dfrac{A_k x+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}$