KALKULUS 2 : INTEGRAL REDUKSI TRIGONOMETRI

Desember 21, 2019

KALKULUS 2 : INTEGRAL REDUKSI TRIGONOMETRI

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Hallo semuanya....
Selamat Datang di Blog Saya, bagi kalian yang baru mampir, perkenalkan Nama saya Ayu Rizkyca Awalia, saya adalah Mahasiswa semester 3 Sekolah Tinggi Teknik PLN Jakarta.

Oke di blog kali ini sesuai dengan judulnya, saya akan membagikan sedikit materi tentang Integral Reduksi Trigonometri.. Ini dia, selamat membaca dan semangat belajar :)

Apasih sebenarnya integral reduksi itu?
Istilah reduksi biasanya sering dipakai dalam bidang kimia, menurut pengertian reduksi sendiri mempunyai arti penambahan jumlah elektron dari sebuah atom, molekul ataupun ion. Dimana atom, molekul atau ion tersebut sangat erat kaitannya dengan bidang kimia. Tetapi matematika juga memakai istilah reduksi, yaitu tepatnya untuk manamakan sebuah rumus. Rumus Reduksi dalam integral ini banyak sekali penggunaanya, sebab biasanya kita dalam menyelesaikan sebuah persoalan matematika tidaklah cukup menggunakan satu rumus. Berikut adalah Rumus rumusnya :

1. Penurunan Rumus Reduksi Integral {sin (x)}^n dx

Kita tahu bahwa $\int sinx dx= -cosx+C$ .

Bagaimana dengan $\int sin^2 x dx$ ?

Kita tahu bahwa

$cos(2x)=1-2sin^2 (x)\\\\ \Leftrightarrow 2sin^2 (x)=1-cos(2x)\\\\\Leftrightarrow sin^2 (x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(2x)$

Maka $\int sin^2 x dx = \int (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x)dx$

= $\int \frac{1}{2}dx-\frac{1}{2}cos(2x)dx$

Ingat bahwa $\int cos(2x)dx=\frac{1}{2}sin(2x)+C$ .

= $\frac{1}{2}x-\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{1}{2} \right )sin(2x)+C$

Dan bagaimana cara mencari $\int sin^4 x dx$ ?

$\int sin^4 x dx$ = $\int (sin^2 x)^2 dx$

= $\left (\frac{1}{2}x-\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{1}{2} \right )sin(2x) \right )^2$

= $\int \left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}cos^2 (2x)-\frac{1}{2}cos(2x) \right )dx$

= $\frac{1}{4}\int dx+\frac{1}{4}\int cos^2 (2x)dx-\frac{1}{2}\int cos(2x)dx$

Ingat bahwa :

$\\\int cosx dx=sinx+c \\\Leftrightarrow \int cos^2 xdx = \int \left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x \right )\\ {\color{Magenta} cos(2x)=2cos^2(x)-1\Leftrightarrow cos^2(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2x)}\\\Leftrightarrow \int cos^2 xdx =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin(2x)+C \\\Leftrightarrow \int cos^2 (2x)dx =\frac{1}{2}(2x)+\frac{1}{4}sin2(2x)+C\\\Leftrightarrow \int cos^2 (2x)dx =\frac{1}{2}(2x)+\frac{1}{4}sin(4x)+C$

= $\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}sin(2x)+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin(4x) \right )+C$

= $\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}sin(2x)+\frac{1}{32}sin(4x)+C$

Maka dengan rumus reduksi kita tidak perlu menjabarkan panjang lebar penyelesaian di atas.

Berikut adalah penurunan rumus induksi dari integral {sin (x)}^n dx.

$\\\int sin^n xdx=\int\left ( sin^{n-1}x\cdot sinx \right )dx\\=\int sin^{n-1}x \cdot d(-cosx)\\=sin^{n-1}x\cdot (-cosx)-\int -cosx \cdot d(sin^{n-1}x)\\\ {\color{Magenta} \frac{d(sin^{n-1}x)}{d(sinx)}\cdot \frac{d(sinx)}{dx}=(n-1)sin^{n-2}x\cdot cosx}\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+\int cosx((n-1)sin^{n-2}x\cdot cosx)dx\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int cos^2x\cdot sin^{n-2}xdx\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int (1-sin^2x)sin^{n-2}xdx\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int (sin^{n-2}x-sin^nx)dx\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int sin^{n-2}dx-(n-1)\int sin^nxdx$

Berakibat

$\\\int sin^ndx+(n-1)\int sin^nxdx=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int sin^{n-2}dx\\\Leftrightarrow n\int sin^nxdx=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int sin^{n-2}dx\\\Leftrightarrow \int sin^nxdx=-\frac{1}{n}sin^{n-1}x\cdot cosx+\frac{n-1}{n}\int sin^{n-2}dx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 1$

Jadi, $\int sin^nxdx=-\frac{1}{n}sin^{n-1}x\cdot cosx+\frac{n-1}{n}\int sin^{n-2}dx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 1$ .

2. Penurunan Rumus Reduksi Integral {cos (x)}^n dx

$\\\int cos^n xdx=\int\left ( cos^{n-1}x\cdot cosx \right )dx\\=\int cos^{n-1}x \cdot d(sinx)\\=cos^{n-1}x\cdot (sinx)-\int sin \cdot d(cos^{n-1}x)\\\ {\color{Magenta} \frac{d(cos^{n-1}x)}{d(cosx)}\cdot \frac{d(cosx)}{dx}=(n-1)cos^{n-2}x\cdot -cosx}\\=cos^{n-1}x\cdot sinx+\int sinx((n-1)cos^{n-2}x\cdot sinx)dx\\=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int sin^2x\cdot cos^{n-2}xdx\\=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int (1-cos^2x)cos^{n-2}xdx\\=cosx^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int (cos^{n-2}x-cos^nx)dx\\=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int cos^{n-2}dx-(n-1)\int cos^nxdx$

Berakibat

$\\\int cos^ndx+(n-1)\int cos^nxdx=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int cos^{n-2}dx\\\Leftrightarrow n\int cos^nxdx=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int cos^{n-2}dx\\\Leftrightarrow \int cos^nxdx=\frac{1}{n}cos^{n-1}x\cdot sinx+\frac{n-1}{n}\int cos^{n-2}dx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 1$

Jadi, $\int cos^nxdx=\frac{1}{n}cos^{n-1}x\cdot sinx+\frac{n-1}{n}\int cos^{n-2}dx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 1$ .

3. Penurunan Rumus Reduksi Integral {tan (x)}^n dx

Ingat bahwa

${\color{Cyan} 1+tan^2x=sec^2x\\\Leftrightarrow tan^2x=sec^2x-1}$

$\\\int tan^nxdx=\int (tan^{n-2}x\cdot tan^2x)dx\\=\int (tan^{n-2}x(sec^2x-1))dx\\=\int (tan^{n-2}x\cdot sec^2x)-\int tan^{n-2}xdx\\ {\color{DarkGreen} \frac{d(tanx)}{dx}=sec^2x} \\=\int tan^{n-2}x\cdot d(tanx)-\int tan^{n-2}xdx \\\frac{1}{(n-2)+1}tan^{x-2+1}x-\int tan^{n-2}xdx\\\frac{1}{(n-1)}tan^{x-1}x-\int tan^{n-2}xdx$

Jadi $\int tan^nxdx=\frac{1}{(n-1)}tan^{x-1}x-\int tan^{n-2}xdx, \forall n\in\mathbb{N}, n> 1$

Semoga Tulisan ini dapat bermanfaat bagi kalian yang membacanya..... :)

sumber : https://cahyatieka.wordpress.com/2017/04/14/membagun-rumus-reduksi-integral-sin-xn-dx/

Cari Blog Ini

Nulis di Internet

KALKULUS 2 : INTEGRAL REDUKSI TRIGONOMETRI

Komentar

Posting Komentar

Postingan Populer

KALKULUS 2 : INTEGRAL VOLUME BENDA PEJAL

KALKULUS 2 : INTEGRAL LUAS DAERAH